📐 Le Théorème de Thalès

Contrôles
Angle droit 36
Rotation 60
Rayon 200
Triangles isocèles

Lunules
Démonstration  
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Un triangle inscrit dans un cercle, et dont un des côtés est le diamètre, est un triangle rectangle.

L’angle bleu, opposé à l’hypoténuse-diamètre, reste droit (90°) en toutes circonstances.

Pour la démonstration du théorème, seule la première glissière est pertinente.
Car elle déforme le triangle rectangle blanc, en déplaçant l’angle droit par rapport à l’hypoténuse-diamètre.

La deuxième ne fait que le faire tourner sur lui-même.
La troisième l’agrandit ou le réduit.

Démonstration

La démonstration fait appel à deux principes :

  1. La somme des trois angles d’un triangle fait toujours 180°
  2. Tous les rayons d’un cercle ont la même longueur

Pour la démonstration, il faut tracer un rayon qui relie le centre du cercle à l’angle bleu, dont on veut démontrer qu’il est droit.
En attendant l’issue de la démonstration, nous l’appellerons l’angle bleu.
Ce rayon découpe le grand triangle blanc en deux triangles isocèles (rouge et vert) :

Ces deux triangles sont isocèles, car deux de leurs trois côtés sont des rayons du cercle, d’égale longueur donc.

La somme des six sommets de deux triangles fait toujours 360°
Puisque la somme des deux sommets des deux triangles isocèles fait 180°, au centre du cercle.
Il reste donc, par soustraction, 180° pour les quatre autres angles des deux triangles isocèles (rouge et vert).

Puisque les triangles sont isocèles, les angles adjacents à leurs bases sont égaux deux à deux.
Ils font 180° à eux quatre :

Le grand triangle blanc, composé des deux triangles isocèles vert et rouge, est donc bien un triangle rectangle.

Comment dessiner une lunule ?

  1. Chaque cathète est la base d’un demi-cercle
    • Dont le centre est au milieu de la cathète
    • Dont le rayon équivaut à la moitié de la longueur de la cathète
  2. Soustrayez de ce demi-cercle le cercle circonscrit au triangle rectangle
  3. Vous obtenez une lunule

La surface des deux lunules équivaut à celle du triangle rectangle

Christian Mascart.